Браво вступил в молодежную систему Коло-Коло, когда ему было 11 лет. Когда играл в возрастной группе кадетов, Клаудио попросил, чтобы его тренер поместил в ворота, с тех пор он не менял позицию. Почти покинул спорт из-за проблем с ростом. В 2002 году, когда ему было 19 лет, он дебютировал в первой команде Коло-Коло в чемпионате Чили. Его команда победила в Апертуре 2006 года, после чего он переехал в Испанию, играть за Реал Сосьедад. Дебютировал в Ла Лиге 22 октября 2006 против Майорки. Матч, закончился 0-0.

Переехал в Сан Себастьян, как игрок с большим потенциалом и стал одним из лучших вратарей в истории Сосьедада. За восемь лет в клубе он стал лидером баскской команды. Фактически, он второй иностранец по количеству игр за команду. У Браво были трудные времена на Аноэте, когда команда вылетела в 2007 году, в Сегунду, и когда он потерял место в стартовом составе на следующий год. Но были и хорошие времена, такие, как выход в сезоне 2012/13 в Лигу Чемпионов, и Трофей Саморы в Сегунде.

Известный в родной стране, как 'Кондор Чико', в честь легендарного вратаря Роберто 'Кондор' Рохаса, Клаудио Браво капитан чилийской национальной сборной с 2008 года, когда он получил нарукавную повязку от великого Марсело Саласа. Этим летом он играет на его втором Чемпионате Мира, после попадания сборной Чили в одну восьмую финала в Южной Африке 2010, они проиграли Бразилии.

Клаудио Браво официально дебютировал за клуб 24 августа 2014 года в матче Чемпионата Испании против Эльче. Матч завершился победой Барселоны 3-0. Он был первым вратарем команды в сезоне Ла Лиги 2014/15 и сыграл в 37 из 38 игр, выиграв трофей Саморы, как лучший вратарь с 19 пропущенными мячами. Капитан сборной Чили завершил сезон с впечатляющим результатом в 0.51 гола за игру, что является одним из лучших результатов в истории Ла Лиги.

Помимо требла с Барсой, Браво завершил сезон 2014/15 наилучшим образом, выиграв Кубок Америки по футболу, который проходил в Чили, благодаря победе в серии пенальти над сборной Аргентины в финале. Капитан играл превосходно по ходу турнира, выиграв Золотая Перчатку, как лучший вратарь турнира. Клаудио Браво, таким образом, стал первым игроком, выигравшим четыре основных титула в одном сезоне (Ла Лига, Кубок Испании, Лига Чемпионов и Копа Америка).